石景山食品经营许可证延续申请的快速加急办理流程如下：

确定延期需求：确定需要延期的许可证数量、延期原因、是否涉及食品经营、食品种类、经营场所、经营规模等信息。

准备申请材料：根据相关规定，准备申请表格、身份证明、经营许可证明等相关申请材料，并确保材料的真实性和完整性。

网上或现场提交申请：通过石景山区相关网站或前往相关行政区域内的食品药品监管部门提交申请，并接受现场核查。

审核通过后缴费：如申请材料通过审核，需要按照相关规定缴纳相应的费用，之后可以进入下一步的办理流程。

领取新许可证：在缴费成功后，前往石景山区相关行政区域内领取新的食品经营许可证，完成许可证延续申请的全部流程。

需要注意的是，石景山区食品经营许可证延续申请的具体流程和所需材料可能因政策原因略有不同。因此，在准备申请前，建议仔细了解石景山区相关政策规定，或咨询当地食品药品监管部门工作人员，以确保申请过程顺利。